二つの封筒問題から学ぶ独立事象と従属事象

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二つの封筒、それぞれにお金が入っています。
外見からはわかりませんが、二つの封筒のうち一つには、二倍の金額が入っていることがわかっています。

あなたが一方の封筒を開けると、中には1万円が入っていました。
そのまま受け取ってもいいし、もう片方の封筒と交換することもできます。

さて、どうするべきでしょうか?
数学的な観点から考えてみてください。

期待値の錯覚

封筒の中身が1万円なのだから、もう片方の封筒は5千円か2万円のはずです。

損が5千円なのに対して得は1万円。
期待値を考えると、交換した方がよさそうに感じます。

(5千円+2万円)÷2=12500円

交換した場合の期待値は1.25倍。
よって、交換した方が確率的には正しい。

というのは、多くの人が陥る確率の錯覚です。

二つの封筒のパラドックス

この問題は「二つの封筒問題」と呼ばれています。

確率の錯覚を起こしやすい問題として、モンティ・ホール問題囚人のジレンマとともに、ゲーム理論ではとても有名です。

二つの封筒問題は、数学者の間でも数々の議論が行われてきました。

この問題のポイントは、従属事象にもかかわらず独立事象のように扱ってしまうことで、確率の錯覚を起こすことです。

独立事象と従属事象

独立事象とは、二つの事象が干渉しないことをいいます。

たとえば、2つのサイコロAとBを投げた場合。
サイコロBが1の目を出す確率は、サイコロAの目に影響されず6分の1です。

もちろん前回の目にも影響されません。
サイコロが1の目を出す確率は常に6分の1。これが独立事象です。


対して従属事象は、二つの事象同士が干渉することをいいます。

たとえば、100枚中2枚が当たりのクジを引く場合。
※引いたクジはもとに戻さない

2回目以降のクジは、それ以前のクジの結果に影響されます。

1回目のクジが当たりならば、2回目のクジは99分の1で当たり。1回目のクジがハズレならば、2回目のクジは99分の2で当たり。

このように2回目で当たりを引く確率(事象A)が、1回目で当たりを引くかどうか(事象B)に影響されることを、従属事象といいます。


二つの封筒問題の解説

この問題は解釈の仕方によって解答も異なるようなので、私が一番わかりやすいと思った方法で解説しますね。

まず、封筒の中身をそれぞれx、2xとします。

A)最初に選んだ封筒がxならば、もう片方の封筒は2x
B)最初に選んだ封筒が2xならば、もう片方の封筒はx

封筒を交換した場合、A)はx円の得をして、B)はx円の損をします。

e=(2x-x)/2+(x-2x)/2=x/2-x/2=0

封筒を交換しても、金額は差し引きゼロ。
つまり、期待値は変わりません。

この問題は先ほど述べたとおり、従属事象です。

くじ引きの例を思い出してほしいのですが、最初に選んだ封筒がXならば、交換した場合は確実にx得をします。
最初に選んだ封筒が2xならば、確実にx損します。それだけの話です。

交換した方がいいかどうかは、最初に封筒を選んだ時点で決まっているのにもかかわらず、自分の封筒の中身をxとして、もう片方の中身を(x/2、2x)と考えてしまうのが誤りなのです。

「二つの封筒問題から学ぶ独立事象と従属事象」への2件のフィードバック

  1. 大昔の話にコメントしてすみませんが一言。
    御説の結論はあくまで「未開封バージョン」の話ですね。
    「未開封バージョン」にはおっしゃるとおり何のパラドクスもありません。
    問題は「開封バージョン」です。
    封筒を開封して、例えば1万円を見た。そのときに交換した方が得か否か。
    未開封バージョンのように、「封筒を交換しても、金額は差し引きゼロ。
    つまり、期待値は変わりません。」とは言えなくなります。

    「封筒の中身が1万円なのだから、もう片方の封筒は5千円か2万円のはずです。損が5千円なのに対して得は1万円。期待値を考えると、交換した方がよさそうに感じます。(5千円+2万円)÷2=12500円 交換した場合の期待値は1.25倍。よって、交換した方が確率的には正しい。」
    とは言えても、「多くの人が陥る確率の錯覚です。」とは単純には言えません。

  2. >自分の封筒の中身をxとして、もう片方の中身を(x/2、2x)と考えてしまうのが誤りなのです。

    自分の封筒の中身が10,000円だったとしたら、
    もう片方の中身を 5,000円 か20,000円 と考えてしまうのが誤りなの?

    だったら、芋ほりさんは
    自分の封筒の中身が10,000円だったとしたら、
    もう片方の中身をなんだと考えるの?

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