二つの封筒問題から学ぶ独立事象と従属事象

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二つの封筒、それぞれにお金が入っています。
外見からはわかりませんが、二つの封筒のうち一つには、二倍の金額が入っていることがわかっています。

あなたが一方の封筒を開けると、中には1万円が入っていました。
そのまま受け取ってもいいし、もう片方の封筒と交換することもできます。

さて、どうするべきでしょうか?
数学的な観点から考えてみてください。

期待値の錯覚

封筒の中身が1万円なのだから、もう片方の封筒は5千円か2万円のはずです。

損が5千円なのに対して得は1万円。
期待値を考えると、交換した方がよさそうに感じます。

(5千円+2万円)÷2=12500円

交換した場合の期待値は1.25倍。
よって、交換した方が確率的には正しい。

というのは、多くの人が陥る確率の錯覚です。

二つの封筒のパラドックス

この問題は「二つの封筒問題」と呼ばれています。

確率の錯覚を起こしやすい問題として、モンティ・ホール問題囚人のジレンマとともに、ゲーム理論ではとても有名です。

二つの封筒問題は、数学者の間でも数々の議論が行われてきました。

この問題のポイントは、従属事象にもかかわらず独立事象のように扱ってしまうことで、確率の錯覚を起こすことです。

独立事象と従属事象

独立事象とは、二つの事象が干渉しないことをいいます。

たとえば、2つのサイコロAとBを投げた場合。
サイコロBが1の目を出す確率は、サイコロAの目に影響されず6分の1です。

もちろん前回の目にも影響されません。
サイコロが1の目を出す確率は常に6分の1。これが独立事象です。


対して従属事象は、二つの事象同士が干渉することをいいます。

たとえば、100枚中2枚が当たりのクジを引く場合。
※引いたクジはもとに戻さない

2回目以降のクジは、それ以前のクジの結果に影響されます。

1回目のクジが当たりならば、2回目のクジは99分の1で当たり。1回目のクジがハズレならば、2回目のクジは99分の2で当たり。

このように2回目で当たりを引く確率(事象A)が、1回目で当たりを引くかどうか(事象B)に影響されることを、従属事象といいます。


二つの封筒問題の解説

この問題は解釈の仕方によって解答も異なるようなので、私が一番わかりやすいと思った方法で解説しますね。

まず、封筒の中身をそれぞれx、2xとします。

A)最初に選んだ封筒がxならば、もう片方の封筒は2x
B)最初に選んだ封筒が2xならば、もう片方の封筒はx

封筒を交換した場合、A)はx円の得をして、B)はx円の損をします。

e=(2x-x)/2+(x-2x)/2=x/2-x/2=0

封筒を交換しても、金額は差し引きゼロ。
つまり、期待値は変わりません。

この問題は先ほど述べたとおり、従属事象です。

くじ引きの例を思い出してほしいのですが、最初に選んだ封筒がXならば、交換した場合は確実にx得をします。
最初に選んだ封筒が2xならば、確実にx損します。それだけの話です。

交換した方がいいかどうかは、最初に封筒を選んだ時点で決まっているのにもかかわらず、自分の封筒の中身をxとして、もう片方の中身を(x/2、2x)と考えてしまうのが誤りなのです。

「二つの封筒問題から学ぶ独立事象と従属事象」への4件のフィードバック

  1. 大昔の話にコメントしてすみませんが一言。
    御説の結論はあくまで「未開封バージョン」の話ですね。
    「未開封バージョン」にはおっしゃるとおり何のパラドクスもありません。
    問題は「開封バージョン」です。
    封筒を開封して、例えば1万円を見た。そのときに交換した方が得か否か。
    未開封バージョンのように、「封筒を交換しても、金額は差し引きゼロ。
    つまり、期待値は変わりません。」とは言えなくなります。

    「封筒の中身が1万円なのだから、もう片方の封筒は5千円か2万円のはずです。損が5千円なのに対して得は1万円。期待値を考えると、交換した方がよさそうに感じます。(5千円+2万円)÷2=12500円 交換した場合の期待値は1.25倍。よって、交換した方が確率的には正しい。」
    とは言えても、「多くの人が陥る確率の錯覚です。」とは単純には言えません。

  2. >自分の封筒の中身をxとして、もう片方の中身を(x/2、2x)と考えてしまうのが誤りなのです。

    自分の封筒の中身が10,000円だったとしたら、
    もう片方の中身を 5,000円 か20,000円 と考えてしまうのが誤りなの?

    だったら、芋ほりさんは
    自分の封筒の中身が10,000円だったとしたら、
    もう片方の中身をなんだと考えるの?

  3. こんにちは
    まだ見てくれているか分かりませんが、自分の考えを書きます
    コメントで他の方が指摘されてますが、私はその指摘は誤りだと思ってます

    封筒が二つあって、片方にX、もう片方に2X、入っています
    どちらかを自由選択して手に取ります
    もしXの方の封筒を手に取っていたなら、もう片方は2Xです
    もし2Xの方の封筒を手に取っていたなら、もう片方はXです
    封筒を交換する行為を記号「⇒」で表現するなら
    X ⇒ 2X ・・・①
    2X ⇒ X ・・・②
    の二つの状態が考えられ、交換する方がよいか、どうか迷っている状態ですね
    ここで、今の置かれている状態が、①である確率と、②である確率は、ともに1/2です
    なぜならそれぞれXと2Xが入っている2つの封筒から
    1つを自由選択したからです、まったくの裏表になってます
    ここで、今の置かれている状態の期待値を求めます
    ①と②は共に1/2の確立なので①と②を足して2で割ればよいです
    すると、1.5X ⇒ 1.5X ・・・③ となります
    ③の左辺の意味していることは、今持ってる封筒はXか2Xか五分五分なので
    期待値は1.5Xであるということです
    同様に右辺が意味しているのは、他方の封筒の期待値も1.5Xであるということです
    両者ともに期待値が1.5Xであるので、交換しても、交換しなくても
    期待値は同じで、どちらが得とは言えず、イーブンである、ことが分かります

    ここで、手に取っている封筒を開けてみます
    10000円が入っていることを確認しました
    交換しなかった場合の期待値は10000円で確定します
    既に③で期待値は求めてあるので、左辺が10000円になるようにXを調節します
    1.5X=10000円であるので、X=6666.666….円であることが判明します
    封筒の中身を確認したことで今回の場合のXの具体的な値が定まりましたが
    逆にいえば、ただそれだけのことです
    封筒を交換した場合の期待値も1.5Xですので、当然、求めるべき期待値も10000円となり
    交換しても、交換しなくても、期待値は同じです、割と自明ですよね

    ではなぜ間違った期待値の計算をしてしまうことがあるのかですが
    ①と②の左辺に10000円を突っ込んでしまうからです
    ①の左辺に10000円を突っ込むと、X=10000円となり、右辺は20000円になります
    ②の左辺に10000円を突っ込むと、X=5000円となり、右辺は5000円になります
    ところがここで明らかに問題が発覚してますが、①と②でXの値が変わってしまっています
    もとより①と②のXが同じ値であることを前提に数式や理論を組み立ててきたわけですから
    これはおかしいです
    Xが同じ値を意味していないのであれば、連立させて、足したり引いたりできないです
    片方にX=10000円を入れて、もう片方にX=5000円を入れたなら、もう単純な足し引きは出来ないです
    なので、右辺の20000円と5000円を足して2で割っても正しい期待値は求まらないのです
    Xの値が違うことで、①と②の数式の重みとでも言いますか、意味合いといいますか
    スケールが別になってしまっているわけです
    20000円と5000円を安易に足すのは、mとcmを単位変換せずに足しているようなものです
    だから変な答えが出るのですね

  4. ななしさんへ

    不思議なことをおっしゃいますね。
    一方の封筒を開けて10000円を見た。
    他方の封筒の中身は5000円か20000円。
    ここまではよいですね?

    ななしさんは、封筒を交換しても期待値も10000円であり、
    交換しても、交換しなくても、期待値は同じです、割と自明ですよね
    とおっしゃっています。

    ここで、封筒を交換して5000円を得る確率をXとすると
    20000円を得る確率は1-Xです。
    ここまではよろしいですね?

    そうすると、封筒を交換して期待値が10000円になるとおっしゃってますので
    5000×X+20000×(1-X)=10000
    となります。そうすると
    X=2/3
    となります。

    すなわち封筒を交換して10000円が5000円と半額になる確率が2/3で
    封筒を交換して10000円が20000円と倍額になる確率が1/3です。

    封筒を開ける前は、高額側か低額側かの確率はともに1/2で等しかったのに
    封筒を開けるとどうしてこのようにアンバランスになるのでしょうか?

    説明をお願いします。

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